2025 年 2 月 USACO 铜升银解题思路大公开

2025 年 2 月赛事已结束，不少同学反馈，这次铜组和银组的题目，比起去年 12 月以及今年 1 月，简直是 “难度大跳水” ！铜组的三道题，分别围绕总结规律、模拟操作和分类讨论展开，题型明了，不绕弯儿。
从难度上看，铜组题目难度：3>> 1~=2。那些日常勤奋刷题、储备满满的 “卷王” 同学，在这次考试中如鱼得水，很多都成功上岸，或者至少拿到600分以上。通关的小伙伴，先收下一波热烈祝贺！暂时失利的也别 emo，这里有超详细的题解思路，为你下次冲刺助力，赶紧来取 “经” ！
01 铜牌第一题
1. 问题描述Farmer John 在 N×N（2≤N≤2000 且 N 为偶数 ）的正方形画布上先划分成四个象限，在右上角象限作画，然后将其通过横竖中线反射到其他象限。但 Bessie 破坏了画布，Farmer John 需修改画布使其恢复反射对称，且操作（涂或擦除单元格）次数最少。
2. 解题思路为了解决这个问题，我们需要将画布恢复成满足反射条件的状态，并且在每次更新后计算所需的最少操作次数。我们可以通过预处理每个对称组的贡献，并在每次更新后调整该组的贡献来实现高效计算。
3. 基础观察①  画布是一个N*N的正方形，且均分为四个象限,其余三个象限的点是根据第一象限(右上角)的点通过轴对称得到的.②  比如第一象限(x,y),那么第二象限就是(x,N-y+1),第三象限就是(N-x+1,y),第四象限就是(N-x+1,N-y+1).③  我们所做的操作是为了令这个四个象限上对称的点具有相同符号.④  对于其中一组对称点，统计四个点上"#"的个数(cnt_hash)，我们要么将"#"变成".",要么将"."变成"#".⑤  如果"#"的个数为0,4,那么我们不需要做任何操作.⑥  如果"#"的个数为1,那么我们只需要将"#"变成".". （操作数为1）⑦  如果"#"的个数为2,那么我们只需要将"#"变成".". （操作数为2）⑧  如果"#"的个数为3,那么我们只需要将"."变成"#". （操作数为1）⑨  因此，对于每个对称组，令组内所有点具有相同符号所需的最少操作次数为4-max(cnt_hash,4-cnt_hash).
4. 方法思路
a.对称组划分：将画布划分为四个对称的象限，每个单元格属于一个对称组，每个对称组包含四个位置。b.预处理贡献：计算每个对称组在初始状态下的贡献，即将其统一为同一颜色所需的最少操作次数。c.处理更新：每次更新一个单元格后，调整该单元格所属对称组的贡献，并更新总操作次数。